11 Августа 2014

Математическое доказательство существования равновесия в конкурентной экономике

Лауреат Нобелевской премии по экономике за 1983 год Ж.Дебре (1959) и лауреат Нобелевской премии по экономике за 1972 год К.Эрроу нашли математическое доказательство существования равновесия в конкурентной экономике, когда по аналогии перенесли в теорию экономического равновесия теорему Какутани о неподвижной точке из области топологии. Ранее Джон фон Нейман применял аналог этой теоремы в своей математической теории игр.

В.М.Сергеев в книге «Пределы рациональности. Термодинамический подход к теории экономического равновесия» (1999) пишет: «Теорема о том, что непрерывное отображение компактного выпуклого множества в себя имеет неподвижную точку, принадлежит Брауэру. Позднее С.Какутани сформулировал теорему о неподвижной точке для полунепрерывных сверху точечно-множественных отображений (1941), которая и была использована К.Эрроу и Ж.Дебре для доказательства существования равновесия в конкурентной экономике. Идея доказательств состоит в построении двух точечно-множественных отображений: множества векторов избыточного спроса в множество векторов цен и множества векторов цен в множество векторов избыточного спроса, а также в применении теоремы Какутани к комбинированному отображению, определенному на декартовом произведении множеств векторов и избыточного спроса» (Сергеев, 1999, с.136).

Максим Тумилович в статье «Формализм, экономическое образование и экономическая наука» (журнал «Эковест», 2003, том 3, № 1), критикуя абстрактный подход Ж.Дебре и К.Эрроу к решению экономических проблем, освещает ту же аналогию названных ученых: «Что заставило Эрроу и Дебре взяться за перо? Вальрасу не удалось дать убедительное математическое доказательство того, что описывающая рынок система уравнений может иметь решение. Дебре и Эрроу применили теорему о неподвижной точке вместе с прочими математическими штучками и в результате нашли решение, то есть доказали, что равновесие существует» (Тумилович, 2003, с.121).

Сам Ж.Дебре в статье «Четыре аспекта математической теории экономического равновесия» (журнал «Успехи математических наук», 1977, том 32, выпуск 1 (193)) указывает: «Хотя с начала 30-х до начала 50-х годов не было сделано ни одной работы по проблеме существования вальрасовского равновесия, в этот период в смежных областях был получен ряд результатов, которым позже суждено было сыграть главную роль в исследовании этой проблемы. Один из них – лемма, доказанная Дж.фон Нейманом [28] в связи с его моделью экономического роста. Эта лемма была переформулирована С.Какутани [21], как теорема о неподвижной точке, и эта теорема стала очень сильным инструментом для доказательства утверждений о существовании равновесных состояний в экономике» (Дебре, 1977, с.131).

Ю.А.Данилов в книге «Джон фон Нейман» (Москва, «Знание», 1981) цитирует фон Неймана: «В 1935 г. я обобщил теорему о минимаксе (имея в виду ее приложения в теории цен и производства), воспользовавшись в еще более явном виде методом неподвижной точки» (Ю.А.Данилов, 1981). Эти слова фон Неймана не оставляют сомнений в том, что он использовал топологическую теорему о неподвижной точке в экономике до исследований Ж.Дебре и К.Эрроу.

Одна из проблем, с которыми сталкиваются беременные женщины это депрессия. Если и вас мучает депрессия при беременности, зайдите на портал Беби.Ру. Здесь вы узнаете об основных группах риска, симптомах и лечении депрессии.

admin

Оставьте комментарий!

Не регистрировать/аноним

(Используйте нормальные имена. Ваш комментарий будет опубликован после проверки.)

Комментатор/хотите зарегистрироваться

(Для регистрации укажите пароль и свой действующий email. Связка email-пароль позволяет вам комментировать и редактировать данные в вашем персональном аккаунте, такие как адрес сайта, ник и т.п. Письмо с активацией придет в ящик, указанный при регистрации.)

(обязательно)