9 Ноября 2015

Теория групп геометрических преобразований Феликса Клейна

Феликс Клейн создал теорию групп геометрических преобразований, осуществив перенос в область геометрии алгебраической теории групп Галуа, а также основываясь на аналогии между группами движений пространства Лобачевского и группой движений пространства Евклида. Другими словами, Ф.Клейн построил теорию групп для аналитических функций по аналогии с теорией Галуа для алгебраических уравнений. Благодаря этой аналогии Ф.Клейн открыл автоморфные функции, ввиду чего разделяет с А.Пуанкаре славу первооткрывателя этих функций.

Г.Вейль в книге «Математическое мышление» (1989) указывает: «На теорию функций владычество групп было впервые распространено самим Клейном – с помощью введенного им понятия автоморфной функции. Если область существования аналитической функции односвязна, то, следуя Риману, можно представить ее как внутренность круга. Единственными конформными, т.е. сохраняющими аналитичность, отображениями круга на себя являются дробно-линейные преобразования. Отсюда возникает понятие автоморфной функции как функции, инвариантной относительно некоторой группы линейных подстановок независимых переменных» (Вейль, 1975, с.265).

Кроме того, Ф.Клейн сформулировал теорию инвариантов проективного преобразования трехмерного пространства по аналогии с теорией инвариантов алгебраических и дифференциальных преобразований. В.Ф.Панов в книге «Математика древняя и юная» (2006) указывает: «В обширных исследованиях, принадлежащих ему и его многочисленным ученикам, Клейн применил понятие группы к линейным дифференциальным уравнениям, к эллиптическим и модулярным функциям, к абелевым и автоморфным функциям. Он обнаружил и установил теорему униформизации…» (Панов, 2006, с.312).