20 Октября 2015

Аналогии А.Пуанкаре в теории краевых задач и теории линейных интегральных уравнений

А.Пуанкаре внес значительный вклад в теорию краевых задач, решаемых с помощью дифференциальных уравнений, когда заметил аналогию этих задач с алгебраической задачей приведения квадратичной формы к главным осям. А.И.Плеснер в статье «Спектральная теория линейных операторов» (журнал «Успехи математических наук», 1941, выпуск 9) пишет: «…Сложные проблемы колебаний (колебания струны, мембраны и т.п.) привели в теории дифференциальных уравнений, обыкновенных и в частных производных, к целому ряду краевых задач, которые, несмотря на разнообразие их аналитического характера, обнаруживали далеко идущую аналогию с алгебраической задачей приведения квадратичной формы к главным осям. До появления общей теории наиболее полно и ярко эта аналогия была освещена Пуанкаре [1] на примере мембраны» (Плеснер, 1941, с.3).

А.Пуанкаре (1896) сформулировал теорию линейных интегральных уравнений по аналогии с теорией линейных алгебраических уравнений. Пуанкаре пришел к идее введения переменного параметра перед интегралом интегрального уравнения, находясь под впечатлением указанных алгебраических аналогий, а также результатов, полученных для уравнения колеблющейся мембраны. Ф.А.Медведев в книге «Очерки истории теории функций действительного переменного» (1975) дает понять, что Пуанкаре разработал прием интегрирования дифференциала по параметру по аналогии с приемом Лейбница и Эйлера для дифференцирования интеграла по тому же параметру. Утверждение Пуанкаре о том, что решением интегрального уравнения является мероморфная функция от переменного параметра, возникло по аналогии с тем, что решением дифференциального уравнения колеблющейся струны, точнее, колеблющейся мембраны в теории упругости является та же мероморфная функция. Н.Бурбаки в книге «Очерки по истории математики» (2007) отмечает, что Пуанкаре получил решение интегральных уравнений в виде отношения двух определителей, каждый из которых является целой функцией переменного параметра, по аналогии с методом решения конечных систем линейных дифференциальных уравнений. Этот метод также основан на поиске отношения двух определителей.

admin

Оставьте комментарий!

Не регистрировать/аноним

(Используйте нормальные имена. Ваш комментарий будет опубликован после проверки.)

Комментатор/хотите зарегистрироваться

(Для регистрации укажите пароль и свой действующий email. Связка email-пароль позволяет вам комментировать и редактировать данные в вашем персональном аккаунте, такие как адрес сайта, ник и т.п. Письмо с активацией придет в ящик, указанный при регистрации.)

(обязательно)