24 Ноября 2015

Аналогия между теориями линейных интегральных и дифференциальных уравнений

Выдающийся математик Э.И.Фредгольм (1900) создал теорию линейных интегральных уравнений, которая является мощным методом математической физики, по аналогии с теорией линейных дифференциальных уравнений, а также индуктивно опираясь на частные случаи этой теории, известные математику Робэну.

Фредгольм нашел выражение, являющееся детерминантом интегрального уравнения, содержащего неизвестную функцию от одной действительной переменной, по аналогии с нахождением детерминанта для системы линейных алгебраических уравнений. Он доказал абсолютную сходимость бесконечного ряда, выражающего этот детерминант, по аналогии с теоремой Ж.Адамара из теории определителей (детерминантов).

В.С.Сологуб в книге «Развитие теории эллиптических уравнений в 18 и 19 столетиях» (1975) указывает, что Фредгольм открыл метод неопределенных коэффициентов в общей теории интегральных уравнений, который состоит в определении неизвестной функции, предполагаемой разложимой в ряд, путем вычисления ее коэффициентов, по аналогии с методом неопределенных коэффициентов из теории алгебраических уравнений.

В.Тихомиров в статье «Математика в первой половине ХХ века» (журнал «Квант», 1999, № 1) констатирует: «Еще в конце прошлого века были обнаружены аналогии между теорией систем линейных уравнений конечного числа переменных и их бесконечномерных аналогов – линейных интегральных уравнений. Решающий сдвиг в теории был сделан Фредгольмом в 1900 году» (В.Тихомиров, 1999).

Герман Вейль пишет о Фредгольме: «Открытие Фредгольма всегда казалось мне сильно запоздалым. Что может быть естественнее, чем идея о предельном переходе от дискретной системы материальных точек к сплошной среде, сопровождающемся переходом от системы линейных уравнений, описывающих дискретные точки, к интегральному уравнению?» (Г.Вейль, «Математическое открытие», 1989).