28 Ноября 2015

Теорема об однозначном разложении групп в прямое произведение неразложимых сомножителей для класса произвольных некоммутативных групп

О.Ю.Шмидт (1913) сформулировал теорему об однозначном разложении групп в прямое произведение неразложимых сомножителей для класса произвольных некоммутативных групп по аналогии с эквивалентной теоремой Роберта Ремака для класса конечных абелевых групп.

Б.Чандлер и В.Магнус в книге «Развитие комбинаторной теории групп» (1985) констатируют: «Наряду с Ремаком [1911] О.Ю.Шмидт [1913] был первым, кто обобщил теорему об однозначном разложении групп в прямое произведение неразложимых сомножителей с класса конечных абелевых групп на класс всех конечных групп» (Чандлер, Магнус, 1985, с.60).

А.Г.Курош в статье «Пути развития и некоторые очередные проблемы теории бесконечных групп» (журнал «Успехи математических наук», 1937, выпуск 3) пишет о теореме Ремака: «Первый и самый основной шаг в перенесении этой теоремы на бесконечные группы сделал О.Ю.Шмидт. Еще раньше Круль доказал справедливость этой теоремы для абелевых групп с произвольным множеством операторов, предполагая обрыв возрастающих и убывающих цепочек допустимых подгрупп… Основной результат Шмидта заключается в доказательстве теоремы Ремака для произвольных некоммутативных групп с обрывом цепочек в оба направления, т.е. для групп, обладающих композиционным рядом» (Курош, 1937, с.11).

Теорема Ремака – это утверждение о том, что различные разложения группы в прямое произведение неразложимых множителей обладают одинаковым числом множителей, и между множителями обоих разложений можно установить взаимно однозначное соответствие.