1 Октября 2015

Аналогии Жака Адамара в области функционального анализа

Жак Адамар высказал теорему о линейном характере вариации функционала по аналогии со старой теоремой о линейном характере дифференциала функции. В книге «Математика 19 века: чебышевское направление в теории функций» (редакторы - А.Н.Колмогоров и А.П.Юшкевич, 1987) констатируется: «Адамар выдвинул условие: вариация функционала должна быть линейной. Он писал: «Фундаментальный результат дифференциального исчисления состоит в том, что дифференциал функции является линейной функцией дифференциалов переменных», подобно этому «вариация функционала – линейный функционал относительно вариации by». Заметим, что сам термин «вариация» ясно указывает на аналогию с вариационным исчислением, которой постоянно руководствовался Адамар в работах по функциональному анализу» («Математика 19 века», 1987, с.236).

Жак Адамар ввел в функциональный анализ (теорию функционалов) ряд общих понятий, например, понятие окрестности в пространстве функций, по аналогии с общими понятиями вариационного и дифференциального исчисления. Сравнивая вклад Вито Вольтерра и Жака Адамара в функциональный анализ, Г.Е.Шилов в статье «Жак Адамар и формирование функционального анализа» (УМН, 1964, том 19, выпуск 3 (117)) сначала говорит об аналогиях, которыми пользовался Вольтерра, а затем – об аналогиях, которые реализовал Адамар при построении функционального анализа. «Итальянский математик Вито Вольтерра, - пишет Г.Е.Шилов, - еще в конце восьмидесятых годов [5] рассматривал задачи вариационного исчисления как задачи на экстремум «функций от линии» и стремился перенести на эти задачи методы дифференциального исчисления. Он рассматривал линию как элемент, определяемый бесконечным числом координат (например, значений ординат соответствующей кривой) и по аналогии с понятием частной производной вводил понятие «функциональной производной», которая для классических вариационных задач приводилась к дифференциальному выражению Эйлера» (Шилов, 1964, с.184). «Но у Вольтерра, - поясняет Г.Е.Шилов, - не было общих понятий, без которых мы теперь вообще не представляем себе вариационного исчисления. Он, например, не имел понятия окрестности в пространстве функций. А Адамар ввел [6] целую серию окрестностей, определяемых близостью функций вместе с производными до заданного порядка, что, в частности, дало ему возможность указать различие между сильным и слабым экстремумами. У Вольтерра не было представления о дифференциале (вариации) функции от линии как главной линейной части ее приращения; это понятие также родилось в семинаре Адамара. (…) По ходу дела Адамар ввел привычные теперь для нас термины «функционал», «функциональный анализ», «линейный функционал» (там же, с.184).

admin

Оставьте комментарий!

Не регистрировать/аноним

(Используйте нормальные имена. Ваш комментарий будет опубликован после проверки.)

Комментатор/хотите зарегистрироваться

(Для регистрации укажите пароль и свой действующий email. Связка email-пароль позволяет вам комментировать и редактировать данные в вашем персональном аккаунте, такие как адрес сайта, ник и т.п. Письмо с активацией придет в ящик, указанный при регистрации.)

(обязательно)