14 Октября 2015

Аналогия между теорией автоморфных функций и теорией эллиптических функций

Анри Пуанкаре (1880) построил теорию автоморфных функций по аналогии с теорией эллиптических функций. Эта аналогия позволила ему найти выражение тета-автоморфных рядов.

В книге «Наука и метод» (1983) А.Пуанкаре пишет: «Однажды вечером, вопреки своей привычке, я выпил черного кофе; я не мог заснуть; идеи теснились, я чувствовал, что они сталкиваются, пока две из них не соединились, чтобы образовать устойчивую комбинацию. К утру я установил существование одного класса этих функций, который соответствует гипергеометрическому ряду; мне оставалось лишь записать результаты, что заняло только несколько часов. Я хотел представить эти функции в виде отношения двух рядов, и эта идея была совершенно сознательной и обдуманной; мной руководила аналогия с эллиптическими функциями. Я спрашивал себя, какими свойствами должны обладать эти ряды, если они существуют, и мне без труда удалось построить эти ряды» (А.Пуанкаре, 1983).

Пуанкаре ввел в теорию автоморфных функций метод изучения переменной как функции решения отношения двух линейно независимых коэффициентов уравнения по аналогии с подобным методом, разработанным Гауссом, Абелем и Якоби в теории эллиптических функций. В книге «Математика 19 века: чебышевское направление в теории функций» (редакторы - А.Н.Колмогоров и А.П.Юшкевич, 1987) указывается: «В основе подхода Пуанкаре лежит гениальная мысль, подобная той, которая в свое время пришла на ум Гауссу, Абелю и Якоби при введении ими эллиптических функций: вместо того, чтобы рассматривать слишком сложную функцию u (z), являющуюся решением уравнения… с рациональными (или шире – с алгебраическими) коэффициентами, обратить задачу – рассмотреть переменную z как функцию решения, при этом не одного u, но отношения u1/u2 двух линейно независимых решений u1 u2. Функция эта является однозначной и, как можно показать, инвариантной относительно некоторой группы дробно- линейных преобразований» (Колмогоров, Юшкевич, 1987, с.158).

Об этой же аналогии Пуанкаре пишет А.И.Маркушевич в очерке «Теория аналитических функций» (книга «Математика 19 века: геометрия, теория аналитических функций», 1981): «Отчетливо излагая эволюцию своих идей, Пуанкаре неоднократно подчеркивает, что для него путеводной нитью была классическая теория эллиптических функций…» (Маркушевич, 1981, с.244). «Известно, что интеграл, - поясняет Маркушевич, - можно представить в окрестности любой точки посредством некоторого ряда. Но Пуанкаре интересует глобальное изучение интеграла. И здесь он выдвигает гениальную идею, подобную той, которую в свое время выдвинули Абель и Якоби (и еще раньше Гаусс): вместо того чтобы изучать интеграл как функцию от х (она слишком сложна) рассматривать само переменное х как функцию интеграла, впрочем, не одного, а отношения z двух линейно независимых интегралов данного уравнения х = х (z). Можно выдвинуть гипотезу, что на эту мысль его навело представление модулярной функции Шварца в виде частного двух интегралов гипергеометрического уравнения» (там же, с.244). А.И.Маркушевич пишет: «Мы ограничиваемся здесь сказанным для того, чтобы отметить, что первоначальным источником введения в математику класса автоморфных функций была теория дифференциальных уравнений, и вместе с тем подчеркнуть, что сам Пуанкаре рассматривал свою теорию как далеко идущий аналог теории эллиптических функций, для построения которой ему пришлось привлечь геометрию Лобачевского вместо геометрии Евклида» (там же, с.245).

Напомним, что автоморфная функция – это функция, инвариантная относительно дробно-линейных преобразований. Нужно отметить, что здесь мы наблюдаем аналогию с фактором случая, поскольку Пуанкаре случайно ознакомился с работой Фукса, посвященной автоморфным функциям. Е.П.Ожигова в статье «Шарль Эрмит» (1982) констатирует: «…Ганс Фрейденталь (биограф Эрмита и Пуанкаре) считал, что Пуанкаре совершенно случайно прочитал статью Фукса, «которая захватила его воображение», и то, что после этого проблема «обрела для него первостепенное значение, объясняется случайностью, столь характерной для работ Пуанкаре» (Ожигова, 1982, с.185).

admin

Оставьте комментарий!

Не регистрировать/аноним

(Используйте нормальные имена. Ваш комментарий будет опубликован после проверки.)

Комментатор/хотите зарегистрироваться

(Для регистрации укажите пароль и свой действующий email. Связка email-пароль позволяет вам комментировать и редактировать данные в вашем персональном аккаунте, такие как адрес сайта, ник и т.п. Письмо с активацией придет в ящик, указанный при регистрации.)

(обязательно)