4 Марта 2011

Формулы умножения и деления эллиптических функций, аналогия К. Гаусса, Х. Абеля, К. Якоби

Гаусс, Абель и Якоби (1827) нашли формулы умножения и деления эллиптических функций по аналогии с формулами для умножения и деления тригонометрических функций. Формула умножения тригонометрических функций, от которой отталкивался Гаусс и другие математики, была открыта Муавром. Вот что пишет С.Г. Гиндикин о Гауссе: «Гаусс придумал для лемнискаты функции, аналогичные тригонометрическим функциям для окружности. (…) Последние годы 18-го столетия у Гаусса уходят на построение теории лемнискатных функций. Для них были получены теоремы сложения и приведения, аналогичные теоремам для тригонометрических функций. От лемнискатных функций Гаусс переходит к их обобщению – эллиптическим функциям» (Гиндикин, 2006, с.364). Об этом же пишет А.И. Маркушевич в книге «Математика 19 века: геометрия, теория аналитических функций» (1981): «Началом изучения специальных функций Гауссом послужило построение теории довольно частного класса эллиптических функций – функций лемнискатических. При всех аналогиях с тригонометрическими функциями, облегчивших первые поиски молодому Гауссу (начиная с 1796 г.), лемнискатические функции позволили обнаружить все своеобразие эллиптических функций» (Маркушевич, 1981, с.128). «Если в построении теории лемнискатических функций, - поясняют Колмогоров и Юшкевич, - Гаусс исходил из аналогии с тригонометрическими функциями, то дальше, развивая основы теории эллиптических функций, он руководствовался аналогией с лемнискатическими функциями» (там же, с.131). Г. Вилейтнер в книге «История математики от Декарта до середины 19 столетия» (1966) пишет: «Из заметок, найденных в наследии Гаусса (за 1808/09 и 1843 гг.), выяснилось, что он был хорошо знаком с умножением, делением и преобразованием эллиптических функций. О теории эллиптических модулярных функций он имел значительно более ясное понятие, чем Абель и Якоби. Не может подлежать никакому сомнению, что раннее открытие двойной периодичности лемнискатической функции позволило Гауссу понять необычайную важность комплексных величин, как чисел и как переменных» (Вилейтнер, 1966, с.429). Сходство между эллиптическими и круговыми функциями подметили еще Эйлер и Лагранж. В книге «Математика 18 столетия» (1972) А.П. Юшкевич указывает: «Эйлер и Лагранж обратили внимание на аналогию между эллиптическими дифференциальными уравнениями и уравнением теории круговых функций…» (Юшкевич, 1972, с.358). Мы можем говорить о расшифровке механизмов мышления, на основе которых Гаусс делал свои открытия, несмотря на то, что сам он тщательно скрывал ход своих рассуждений. «Он намеренно, - пишет Г. Вилейтнер о Гауссе, - сглаживает все следы, которые могли бы свидетельствовать о ходе мыслей, приведших автора к его открытиям» (Вилейтнер, 1966, с.95).

Если вы хотите стать ближе к искусству или даже купить картинку себе домой, то настало время посетить галерею картин. Здесь представлены самые разные образцы живописи, преимущественно современных художников. Картины маслом пишутся под заказ, и вы можете заказать их прямо на сайте.

Оставьте комментарий!

Не регистрировать/аноним

(Используйте нормальные имена. Ваш комментарий будет опубликован после проверки.)

Комментатор/хотите зарегистрироваться

(Для регистрации укажите пароль и свой действующий email. Связка email-пароль позволяет вам комментировать и редактировать данные в вашем персональном аккаунте, такие как адрес сайта, ник и т.п. Письмо с активацией придет в ящик, указанный при регистрации.)

(обязательно)