19 Февраля 2011

Операторное (символическое) исчисление, аналогия Готфрида Лейбница

Г. Лейбниц (1677-1684) открыл операторное (символическое) исчисление, которое в конце 19 века развил Оливер Хевисайд, основываясь на аналогии. А.П. Юшкевич в книге «Математика 17 столетия» (1970) подчеркивает: «В то же время Лейбниц пришел к замечательной мысли – формально объединить операторы интегрирования и дифференцирования, рассматривая… повторные интегралы, как дифференциалы с отрицательными индексами; следуя этому пути, он тут же сделал еще один смелый шаг вперед – ввел дифференциалы дробных порядков. Эти идеи были непосредственно связаны с открытием формулы многократного дифференцирования произведения двух или более функций, в которой Лейбниц усмотрел аналогию с формулой степени двучлена. Эта аналогия очевидна, если записать формулу бинома при натуральном n с помощью оператора…» (Юшкевич, 1970, с.272). Со слов Юшкевича, «парадоксальная мысль Лейбница оказалась весьма плодотворной, и к ней, в частности, восходит символическое или операционное исчисление, получившее столь широкие применения в решении дифференциальных уравнений» (там же, с.273). Об истории сиволического исчисления А.Н. Колмогоров и А.П. Юшкевич пишут также в книге «Математика 19 века: чебышевское направление в теории функций» (1987): «Весьма эффективными в теории линейных дифференциальных уравнений оказались методы так называемого символического исчисления, изучающего операторы, порожденные оператором дифференцирования. Эти методы основаны на том, что операторы отделяются от функций, над ними производятся формальные операции, а затем конечный результат снова применяется к функциям. Символические методы позволяют значительно упростить решение некоторых проблем анализа, сводя их к решению алгебраических задач» (Колмогоров, Юшкевич, 1987, с.116). «Истоки символического исчисления, - отмечают Колмогоров и Юшкевич, - мы находим у Лейбница, у которого отчетливо проявилось понимание дифференцирования n-го порядка как n-й степени оператора дифференцирования. Знаменитая формула Лейбница, распространенная им и на отрицательные показатели… дает одну из форм связи между показателем степени и порядком дифференцирования. Указанная Лейбницем аналогия привлекла математиков разных времен…» (Колмогоров, Юшкевич, 1987, с.117). Аналогичные соображения мы встречаем в книге Н. Бурбаки «Очерки по истории математики» (2007): «…Все более и более убеждаясь в аналогии между умножением чисел и композицией операторов своего исчисления, он смело и очень удачно вводит для записи итерации d обозначение посредством степеней, т.е. пишет dⁿ для n-й итерации…» (Бурбаки, 2007, с.201).

Оставьте комментарий!

Не регистрировать/аноним

(Используйте нормальные имена. Ваш комментарий будет опубликован после проверки.)

Комментатор/хотите зарегистрироваться

(Для регистрации укажите пароль и свой действующий email. Связка email-пароль позволяет вам комментировать и редактировать данные в вашем персональном аккаунте, такие как адрес сайта, ник и т.п. Письмо с активацией придет в ящик, указанный при регистрации.)

(обязательно)