2 Марта 2015

Теория гильбертовых функциональных пространств

Д.Гильберт (1908, 1910) построил теорию линейных операторов, то есть теорию гильбертовых функциональных пространств по аналогии с несколькими теориями: теорией линейных дифференциальных уравнений, теорией систем линейных алгебраических уравнений и теорией линейных интегральных уравнений.

Подчеркивая различные аналогии между этими теориями, Л.А.Люстерник в статье «Молодость московской математической школы» (журнал «Успехи математических наук», 1967, том 22, выпуск 1 (133)) указывает: «Аналогия между ортогональностью векторов (сумма произведений координат равна нулю) и ортогональностью функций (интеграл от произведений равен нулю) отражена в самой терминологии. Разложению вектора по ортогональной системе векторов отвечает разложение функций по ортогональной системе функций. Такая же связь – с переходом от сумм к интегралам – между расстоянием в n-мерном евклидовом пространстве и квадратическим отклонением функций. Она привела к созданию так называемого гильбертова функционального пространства, в котором расстояние есть среднеквадратическое отклонение, сходимость в среднем, и в котором «полные ортогональные системы» играют роль ортогональной системы координат, коэффициенты Фурье – координат, при этом равенство Парсеваля есть аналог теоремы Пифагора» (Люстерник, 1967, с.154). «Развитие теории линейных дифференциальных и создание теории линейных интегральных уравнений Фредгольма, которая оказалась более близкой к теории систем линейных алгебраических уравнений, - продолжает Л.А.Люстерник, - привела к созданию охватывающей все эти теории общей теории линейных операторов. Особенную роль в развитии этой теории сыграла аналогия между теорией собственных значений матриц и собственных значений для дифференциальных и интегральных операторов. В работах Д.Гильберта 1908-1910 гг. теория линейных интегральных уравнений перерастает в теорию линейных операторов» (там же, с.154).

admin

Оставьте комментарий!

Не регистрировать/аноним

(Используйте нормальные имена. Ваш комментарий будет опубликован после проверки.)

Комментатор/хотите зарегистрироваться

(Для регистрации укажите пароль и свой действующий email. Связка email-пароль позволяет вам комментировать и редактировать данные в вашем персональном аккаунте, такие как адрес сайта, ник и т.п. Письмо с активацией придет в ящик, указанный при регистрации.)

(обязательно)