5 Сентября 2012

Теория аналитических функций в теории функций комплексной переменной

Б. Риман построил правильную теорию аналитических функций в теории функций комплексной переменной по аналогии с теорией гармонических функций, представленной в исследованиях его предшественников по проблеме потенциала. После обнаружения этой аналогии произошло следующее. В.С.Сологуб в книге «Развитие теории эллиптических уравнений в 18 и 19 столетиях» (1975) отмечает: «Во-первых, - пишет историк науки В.С.Сологуб, - создалась возможность перенесения многих теорем о свойствах функций с одного класса функций на другой класс или установления аналогов этих теорем. Достаточно назвать хотя бы теоремы об экстремальных свойствах, об аналитическом продолжении, принцип симметрии и др. Во-вторых, в работе Римана возникла и во второй половине 19 века начала быстро развиваться теория краевых задач для аналитических функций, аналогия которой для гармонических функций в то время уже существовала. При этом многие методы решения краевых задач для гармонических функций были перенесены на случай краевых задач для аналитических функций, а впоследствии – и наоборот. Наконец, в- третьих, связь между аналитическими и гармоническими функциями наряду с рассмотренной ранее теоремой Римана, привела Шварца и К.Неймана к созданию метода конформных отображений для решения краевых задач теории потенциала на плоскости, - одного из наиболее эффективных методов решения этих задач» (Сологуб, 1975, с.126). Теория краевых задач для аналитических функций была подсказана Риману аналогией с теорией краевых задач для гармонических функций. Причиной успеха Римана при построении теории аналитических функций явилось то, что он обнаружил сходство (аналогию) между аналитическими и гармоническими функциями, причем это сходство подмечалось математиками и раньше (например, Даламбером). В.С.Сологуб в книге «Развитие теории эллиптических уравнений в 18 и 19 столетиях» (1975) отмечает: «Между теорией гармонических функций (решений уравнения Лапласа) от двух действительных переменных и теорией аналитических функций от одной комплексной переменной существует глубокая внутренняя связь. Эту связь нашел еще в 1752 г. Даламбер при решении задач гидродинамики» (Сологуб, 1975, с.234).

Оставьте комментарий!

Не регистрировать/аноним

(Используйте нормальные имена. Ваш комментарий будет опубликован после проверки.)

Комментатор/хотите зарегистрироваться

(Для регистрации укажите пароль и свой действующий email. Связка email-пароль позволяет вам комментировать и редактировать данные в вашем персональном аккаунте, такие как адрес сайта, ник и т.п. Письмо с активацией придет в ящик, указанный при регистрации.)

(обязательно)