22 Февраля 2011

Формула суммы бесконечного ряда чисел, обратных квадратам

Л. Эйлер открыл формулу суммы бесконечного ряда чисел, обратных квадратам, воспользовавшись аналогией и экстраполировав на неалгебраические уравнения правила, верные для алгебраических уравнений. Историк математики Д. Пойа в книге «Математика и правдоподобные рассуждения» (1975) пишет: «Решающий шаг Эйлера был дерзким. С точки зрения строгой логики он был явной ошибкой: Эйлер применил правило к такому случаю, для которого правило не было установлено; правило, относящееся к алгебраическим уравнениям, он применил к уравнениям неалгебраическим. С точки зрения строгой логики, шаг Эйлера не был оправдан. Однако он был оправдан аналогией, аналогией с наиболее плодотворными достижениями растущей науки, которую через несколько лет он сам назвал «Анализом бесконечного» (Пойа, 1975, с.43).

С.Г. Гиндикин в книге «Рассказы о физиках и математиках» (2006) указывает: «Эйлер смотрит на бесконечные ряды как на многочлены бесконечной степени и по аналогии формулирует для них правило разложения в бесконечное произведение линейных множителей» (Гиндикин, 2006, с.244). Другими словами, Л. Эйлер открыл метод суммирования бесконечных степенных рядов по аналогии с методами суммирования конечных рядов, например, геометрических прогрессий. К.Л. Рыбников в книге «История математики» (1974) подчеркивает: «Оперирование с рядами вне области их сходимости приводили к парадоксальным результатам. Однако Эйлер нашел способы получать важные результаты анализа именно с помощью расходящихся рядов. Вообще Эйлер нередко оперировал с расходящимися рядами, видя для этого основания в индуктивном распространении на бесконечные ряды операций, применимых к полиномиальным функциям. Оправданием законности оперирования с расходящимися рядами для Эйлера было получение правильных результатов» (Рыбников, 1974, с.224).

Эту же мысль можно встретить в книге «Математика 17 столетия» (1970), где А.П. Юшкевич пишет: «Но когда переходили к операциям над буквенными рядами, то на них, как правило, не задумываясь, переносили приемы действий над конечными алгебраическими многочленами. Поскольку фактически оперировали функциями, аналитическими внутри соответствующего промежутка, такое оперирование бесконечными степенными рядами обыкновенно не приводило к ошибкам» (Юшкевич, 1970, с.165).

Оставьте комментарий!

Не регистрировать/аноним

(Используйте нормальные имена. Ваш комментарий будет опубликован после проверки.)

Комментатор/хотите зарегистрироваться

(Для регистрации укажите пароль и свой действующий email. Связка email-пароль позволяет вам комментировать и редактировать данные в вашем персональном аккаунте, такие как адрес сайта, ник и т.п. Письмо с активацией придет в ящик, указанный при регистрации.)

(обязательно)