22 Августа 2015

Аналогия между теорией групп для обыкновенных дифференциальных уравнений и теорией групп Э.Галуа для алгебраических уравнений

Софус Ли (1873) построил теорию групп для обыкновенных дифференциальных уравнений по аналогии с теорией групп Э.Галуа (1830) для алгебраических уравнений, решаемых в четырех арифметических действиях. С.Ли назвал свою концепцию теорией групп преобразований. С.Ли заметил, что в математическом анализе существуют такие же неразрешимые дифференциальные уравнения, как и в теории алгебраических уравнений. Ему также бросилось в глаза то, что в обыкновенном дифференциальном уравнении Э.Вессио общая линейная однородная группа преобразований с параметрами играет такую же роль, какую в теории разрешимости алгебраических уравнений исполняет группа подстановок произвольной степени. Ли нашел в теории Пикара-Вессио для обыкновенных дифференциальных уравнений аналитические функции, инвариантные относительно преобразований, которые похожи на симметрические функции корней алгебраических уравнений в теории Галуа. Ссылки на указанную аналогию Софуса Ли можно найти в целом ряде историко-математических исследований.

В книге «Математика 19 века: чебышевское направление в теории функций» (редакторы - А.Н.Колмогоров и А.П.Юшкевич, 1987) отмечается: «Изучить принципы, на которых основываются известные методы интегрирования дифференциальных уравнений в квадратурах, и разработать на основе этих принципов своего рода аналог теории Галуа – общую теорию интегрирования уравнений в квадратурах – такую цель поставил перед собой в 70-е годы молодой норвежский математик Софус Ли» («Математика 19 века», 1987, с.104).

Об этом же говорит В.Ф.Панов в книге «Математика древняя и юная» (2006): «Успешное применение теории групп к решению алгебраических уравнений высших степеней, выразившееся в создании теории Галуа, повлекло за собой попытку построения аналога теории Галуа для дифференциальных уравнений. Возникли теория групп Ли и теория алгебраических групп, тесно связанные со многими областями математики» (Панов, 2006, с.311).

Аналогичную реконструкцию истории открытия Ли дает К.Л.Рыбников в книге «История математики» (1974), где он подчеркивает: «Норвежский математик Софус Ли распространил методы теории групп на проблему интегрирования дифференциальных уравнений. Он ввел около 1873 г. новый вид группы, названный им «непрерывные группы преобразований». С каждым дифференциальным уравнением он связывал такую группу преобразований, которая оставляет его неизменным» (Рыбников, 1974, с.324). «Структура групп Ли, - поясняет Рыбников, - оказалась связанной с вопросом об интегрируемости дифференциальных уравнений в квадратурах. Соответствующие структурные свойства группы Ли получили, по аналогии с теорией Галуа, интерпретацию свойств разрешимости» (там же, с.324).

Примечательно, что задачу создания теории групп для дифференциальных уравнений по аналогии с теорией групп Галуа для алгебраических уравнений перед Ли поставил его учитель Феликс Клейн. Другими словами, аналогия Софуса Ли не была спонтанной, неожиданной, возникшей в режиме неосознанной автоматической ассоциации, как это часто бывает. Перенос Ли был изначально запланирован и это позволяет нам выделять среди большого числа аналогий запланированные (предсказуемые) и незапланированные (непредсказуемые заранее) экстраполяции.

К счастью, в ЕГЭ по математике задание, связанное с теорией групп, вам навряд ли попадется. Тем не менее, этот экзамен все равно остается одним из самых сложных, поэтому курсы ЕГЭ по математике профильный уровень онлайн желательно пройти всем, кто метит на оценку "Отлично". Такой курс не отнимет у вас много времени, а по эффективности способен обойти занятия с репетитором.

admin

Оставьте комментарий!

Не регистрировать/аноним

(Используйте нормальные имена. Ваш комментарий будет опубликован после проверки.)

Комментатор/хотите зарегистрироваться

(Для регистрации укажите пароль и свой действующий email. Связка email-пароль позволяет вам комментировать и редактировать данные в вашем персональном аккаунте, такие как адрес сайта, ник и т.п. Письмо с активацией придет в ящик, указанный при регистрации.)

(обязательно)