10 Сентября 2014

Теория алгебраических функций одной переменной, аналогия Ю.Дедекинда и Г.Вебера

Ю.Дедекинд и Г.Вебер (1882) построили теорию алгебраических функций одной переменной, когда обнаружили аналогию между целыми числами произвольного числового поля и алгебраическими функциями на произвольной римановой поверхности, простирающейся над определенной плоскостью.

Аналогия между теорией чисел и теорией функций, подмеченная Дедекиндом и Вебером, состоит в том, что в обеих теориях существует неприводимое уравнение с целыми рациональными коэффициентами, существует поле, состоящее из чисел и функций, а также возможность разложения всех целых алгебраических чисел и функций на идеальные множители. В книге «Математика 19 века: математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей» (1978) И.Г.Башмакова и А.Н.Рудаков говорят о теории функций: «Алгебраизация этой области началась с того, что вся теория Дедекинда была перенесена им самим в совместной работе с Г.Вебером (1882) в поле алгебраических функций. Этим был установлен глубокий параллелизм между теориями алгебраических чисел и функций и сделан решающий шаг для абстрактного определения понятий модуля, поля, кольца и идеала. С конца прошлого века начался обратный поток идей от теории алгебраических функций к теории чисел…» (Башмакова, Рудаков, 1978, с.43). Те же авторы указывают: «При построении своей теории Дедекинд и Вебер руководствовались аналогией между алгебраическими функциями и алгебраическими числами, которая была уже давно замечена. Еще Стевин обратил свое внимание на то, что многочлены от одного общего переменного ведут себя как целые числа, при этом неприводимые многочлены играют здесь роль простых чисел. Стевин решил ввести для многочленов алгоритм Евклида, с помощью которого можно было доказать, что каждый из многочленов однозначно представляется в виде произведения неприводимых. В дальнейшем на многочлены был перенесен и метод сравнений. Однако вся глубина аналогии была выявлена только после рассматриваемого нами мемуара Дедекинда и Вебера» (там же, с.116).

Со слов Башмаковой и Рудакова, проанализировавших исследования Дедекинда и Вебера, «авторы начинают с построения поля функций, отвечающего классу Римана, развивают для этого поля теорию, полностью аналогичную теории алгебраических чисел, определяют в этом поле модули и идеалы и только затем с помощью развитой теории строят точки римановой поверхности» (там же, с.116). Задачу переноса понятий теории чисел в теорию функций ставил еще Вейерштрасс. Дедекинд распространил на алгебраические функции созданную Куммером теорию разложения алгебраических чисел на единицы и идеальные простые множители. Н.Бурбаки в книге «Очерки по истории математики» (2007) отмечает: «Начиная с первых же последователей Гаусса, понятие поля (алгебраических чисел) лежит в основе всех работ по этому вопросу (так же, впрочем, как и в основе изысканий Абеля и Галуа по алгебраическим уравнениям). Область применения этого понятия увеличивается, когда Дедекинд и Вебер строят теорию алгебраических функций одной переменной, копируя ее с теории алгебраических чисел» (Бурбаки, 2007, с.71).

admin

Оставьте комментарий!

Не регистрировать/аноним

(Используйте нормальные имена. Ваш комментарий будет опубликован после проверки.)

Комментатор/хотите зарегистрироваться

(Для регистрации укажите пароль и свой действующий email. Связка email-пароль позволяет вам комментировать и редактировать данные в вашем персональном аккаунте, такие как адрес сайта, ник и т.п. Письмо с активацией придет в ящик, указанный при регистрации.)

(обязательно)