19 Марта 2011

Теория линейных дифференциальных уравнений

Известные математики Г. Либри и Э. Брассин (1833, 1868) разработали теорию линейных дифференциальных уравнений по аналогии с теорией алгебраических уравнений. А.Н. Колмогоров и А.П. Юшкевич в книге «Математика 19 века: чебышевское направление в теории функций, обыкновенные дифференциальные уравнения, вариационное исчисление, теория конечных разностей» (1987) пишут: «Аналогия с алгебраическими уравнениями во многом определила развитие теории линейных дифференциальных уравнений в 19 веке. Один из аспектов проявления этой аналогии – только что рассмотренные символические методы их интегрирования. Другой аспект – аналогия между корнями алгебраических уравнений и частными решениями линейных дифференциальных уравнений. Первым, кто со всей определенностью указал на эту аналогию и начал ее разработку, был Г. Либри. Сам он в заметке, опубликованной в 1836 г., писал об этом, имея в виду упоминавшийся нами ранее мемуар 1833 г., так: «Я полагаю, был первым, кто обратил внимание геометров на отношения, которые существуют между корнями алгебраических уравнений и частными интегралами линейных дифференциальных уравнений… Сходство этих двух классов уравнений распространяется очень далеко и позволяет трактовать линейные дифференциальные уравнения методами, аналогичными тем, которые использовались в теории алгебраических уравнений» (Колмогоров, Юшкевич, 1987, с.128).

Выпадение волос беспокоит сегодня все большее количество людей. Виной тому может быть как экология, так и неправильное питание. Косметический комплекс System 4 для волос поможет вам восстановить их былую густоту и привлекательность. В состав комплекса System 4 входят только натуральные компоненты, поэтому он всегда справляется со своей задачей.

Либри и Брассин открыли теорему, связывающую решение линейных дифференциальных уравнений с отысканием общего алгебраического делителя, по аналогии с алгоритмом Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух многочленов. Брассин открыл формулы, выражающие коэффициенты линейного дифференциального уравнения, по аналогии с аппаратом теории определителей, который позволяет вычислять коэффициенты линейных алгебраических уравнений. А.Н. Колмогоров и А.П. Юшкевич пишут о Брассине: «Дальнейшие успехи в разработке аналогии принадлежат Э.Брассину. Упомянутое его приложение к курсу Ш.Штурма (1868) так и называется: «Аналогия линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами с алгебраическими уравнениями». Здесь мы находим известные нам выражения для коэффициентов и конструкцию самого уравнения через n линейно независимых решений с помощью аппарата теории определителей. Руководствуясь аналогией с алгебраическими уравнениями, Э.Брассин получил целый ряд важных предложений теории линейных дифференциальных уравнений. Одно из них – теорему Брассина – мы уже упомянули выше» (Колмогоров, Юшкевич, 1987, с.129). Развивая идеи Либри и Брассина, Г. Фробениус (1873) ввел понятие неразрешимости дифференциального уравнения по аналогии с понятием неразрешимости алгебраического уравнения. А.Н. Колмогоров и А.П. Юшкевич цитируют математика П. Аппеля: «П. Аппель так писал об этой аналогии в 1881 г.: «Теория наибольшего общего делителя и теория исключения навели гг. Либри, Лиувилля и Брассина на аналогичные теории для линейных дифференциальных уравнений; рассмотрение этих вопросов было недавно возобновлено и продвинуто далее гг. Л.В. Томе и Г. Фробениусом… Г. Фробениус ввел понятие неприводимости линейного дифференциального уравнения и доказал на этот счет много важных теорем, побуждаемый, без сомнения, аналогичными теоремами теории алгебраических уравнений. Разложение полиномов на множители было источником теории разложения левой части линейного дифференциального уравнения на простые символические множители» (Колмогоров, Юшкевич, 1987, с.130). «…Указанные выше результаты Либри и Брассина следует рассматривать в связи с разработкой аналогии между линейными дифференциальными и алгебраическими уравнениями, о которой мы еще будем говорить в дальнейшем» (там же, с.115). Либри, Лиувилль и Брассин построили теорию детерминантов для линейных дифференциальных уравнений по аналогии с теорией детерминантов Кэли и Сильвестра для алгебраических уравнений.

Оставьте комментарий!

Не регистрировать/аноним

(Используйте нормальные имена. Ваш комментарий будет опубликован после проверки.)

Комментатор/хотите зарегистрироваться

(Для регистрации укажите пароль и свой действующий email. Связка email-пароль позволяет вам комментировать и редактировать данные в вашем персональном аккаунте, такие как адрес сайта, ник и т.п. Письмо с активацией придет в ящик, указанный при регистрации.)

(обязательно)