20 Февраля 2011

Аналогия Леонарда Эйлера в теории логарифмов

Л. Эйлер (1747, 1751) получил ряд важных результатов в теории логарифмов, когда по аналогии распространил понятие логарифма на область мнимых (комплексных) чисел. В книге «Математика 18 столетия» (редактор А.П. Юшкевич, 1972) указывается: «…Эйлер подтвердил принципиальную правоту Лейбница, доказав, что логарифмы отрицательных чисел мнимы, но при этом он впервые установил точную математическую форму этой мнимости, а заодно показал, что понятие логарифма распространяется на любые комплексные числа (кроме нуля). Оказалось, что логарифм всякого отличного от нуля числа имеет бесконечно много комплексных значений, причем для положительных чисел одно из этих значений действительное, логарифмы же остальных чисел действительных значений вовсе не имеют. Теория логарифмов Эйлера произвела сильное впечатление на современников, хотя не все смогли оценить ее по достоинству» («Математика 18 столетия», 1972, с.328).

Знаменитые формулы, связывающие показательные и тригонометрические функции и позволяющие дать правильное определение логарифмов комплексных чисел, были установлены Л. Эйлером на основе аналогии между логарифмами и обратными круговыми функциями, или, выражаясь на языке 17 века, между квадратурами круга и гиперболы.

Эта аналогия была подмечена еще Х. Гюйгенсом и Грегори. Н. Бурбаки в книге «Очерки по истории математики» (2007) пишет: «…Нельзя не упомянуть о распространении Эйлером показательной функции на комплексную область, что дало ему возможность вывести свои знаменитые формулы, связывающие показательную и тригонометрические функции, а также дать определение логарифмов комплексных чисел. Этим окончательно выясняется известная аналогия между логарифмом и обратными круговыми функциями, или, на языке 17 века, между квадратурами круга и гиперболы. Эта аналогия была замечена уже Григорием де Сент-Винцентом, затем уточнена Гюйгенсом и особенно Дж. Грегори…» (Бурбаки, 2007, с.206).

Оставьте комментарий!

Не регистрировать/аноним

(Используйте нормальные имена. Ваш комментарий будет опубликован после проверки.)

Комментатор/хотите зарегистрироваться

(Для регистрации укажите пароль и свой действующий email. Связка email-пароль позволяет вам комментировать и редактировать данные в вашем персональном аккаунте, такие как адрес сайта, ник и т.п. Письмо с активацией придет в ящик, указанный при регистрации.)

(обязательно)