22 Февраля 2011

Метод выражения эллиптических интегралов с помощью дуг конических сечений

Л. Эйлер (1738) нашел метод выражения эллиптических интегралов с помощью дуг конических сечений по аналогии с методом выражения круговых интегралов с помощью эквивалентных дуг. Кроме того, Эйлер разложил длину дуги эллипса в быстро сходящийся ряд по аналогии с разложением других кривых в такой же ряд.

Г. Вилейтнер в книге «История математики от Декарта до середины 19 столетия» (1966) пишет об Эйлере: «Он предложил включить в анализ дуги конических сечений на правах новых трансцендентных, подобно дугам окружностей. Эта мысль весьма близко подводила к открытию эллиптических функций, как и теорема сложения, сходство которой с соответствующей теоремой для круговых функций не ускользнуло ни от Эйлера, ни от Лагранжа» (Вилейтнер, 1966, с.174). В другом месте той же книги Г. Вилейтнер отмечает: «В самом деле, Эйлер не только открыл теорему сложения эллиптических интегралов, но и высказал ее уже в общем виде, приближающемся к теореме Абеля» (там же, с.427).

Необходимо отметить, что существенную роль в открытии теоремы сложения эллиптических интегралов сыграла открытая итальянским математиком Джулио Фаньяно (Фагнано) формула удвоения дуги лемнискаты. Эта формула оказалась индуктивной подсказкой для Эйлера. Д. Стиллвелл в книге «Математика и ее история» (2004) подчеркивает: «Формула удвоения Фагнано оставалась малоизвестной редкостью, пока 23 декабря 1751 года Эйлер не получил экземпляр трудов Фагнано; эту дату Якоби позже охарактеризовал как «день рождения эллиптических функций». Эйлер первым увидел, что прием с подстановкой Фагнано был не просто любопытной счастливой случайностью, а открытием поведения эллиптических интегралов. При помощи своего превосходного умения манипулировать Эйлер быстро сумел распространить его на весьма общие теоремы сложения» (Стиллвелл, 2004, с.221).

Оставьте комментарий!

Не регистрировать/аноним

(Используйте нормальные имена. Ваш комментарий будет опубликован после проверки.)

Комментатор/хотите зарегистрироваться

(Для регистрации укажите пароль и свой действующий email. Связка email-пароль позволяет вам комментировать и редактировать данные в вашем персональном аккаунте, такие как адрес сайта, ник и т.п. Письмо с активацией придет в ящик, указанный при регистрации.)

(обязательно)