5 Марта 2011

Теория групп, аналогия Эвариста Галуа

Эварист Галуа построил теорию групп (теорию групп подстановок корней уравнения) по аналогии с исследованиями Лагранжа по тому же вопросу. Об этом свидетельствует К.Л. Рыбников в книге «История математики» (1974): «Оставался лишь один шаг для того, чтобы обнаружить, что любая подгруппа циклической группы является ее нормальным делителем. Этот шаг сделал Галуа, учитывавший также указание Лагранжа, что подстановки корней уравнений указывают путь к построению их общей теории» (Рыбников, 1974, с.313).

О том, что Лагранж получил первые результаты в теории групп, которые впоследствии обобщил и расширил Галуа, пишет и Н. Бурбаки: «Таким образом, он в действительности положил начало (в терминологии, еще тесно связанной с теорией уравнений) теории групп и полей, многие фундаментальные результаты которых он сам получил, и притом с помощью тех же принципов, которые употребляются и теперь» (Бурбаки, 2007, с.94).

По свидетельству Г. Вилейтнера, «в исследованиях Лагранжа, существенно развитых Гауссом в его теории уравнений деления круга, содержались ростки теории Галуа» (Вилейтнер, 1966, с.56). К теории групп близко подходили Гаусс и Абель, на результаты которых должен был опираться Эварист Галуа. В книге «Математика 18 столетия» (1972) указывается: «Анализ Гаусса был, по существу, основан на разложении группы Галуа уравнения деления круга (т.е. группы всех подстановок корней этого уравнения, не изменяющих справедливости рациональных соотношений между ними) в прямую сумму циклических подгрупп и на построении подполей, соответствующих каждой из подгрупп. В случае уравнения деления круга х = 0 группа Галуа – циклическая группа порядка n – 1. В 1826 г. Абель перенес методы Гаусса на случай уравнений, группа подстановок корней которых коммутативна, показав для этого, что любая коммутативная группа распадается в прямую сумму циклических подгрупп. Этим была построена теория Галуа для класса уравнений с коммутативной группой (так называемых абелевых уравнений)» (Юшкевич, 1972, с.95). «…В 1830-1832 гг., - замечает Юшкевич, - французский математик Эварист Галуа ввел понятие группы, подгруппы и нормального делителя и развил аппарат теории групп. Оперируя новыми понятиями группы и поля, он нашел общее условие разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Теория Галуа, по существу, представляла собой обобщение теории Гаусса и Абеля, однако если они рассматривали уравнения с коммутативной группой Галуа, то Галуа рассмотрел общий случай, когда группа Галуа некоммутативна» (там же, с.95). Можно сказать, что Галуа создал теорию групп для некоммутативных подстановок по аналогии с теорией групп Лагранжа, Гаусса и Абеля для коммутативных подстановок.

Оставьте комментарий!

Не регистрировать/аноним

(Используйте нормальные имена. Ваш комментарий будет опубликован после проверки.)

Комментатор/хотите зарегистрироваться

(Для регистрации укажите пароль и свой действующий email. Связка email-пароль позволяет вам комментировать и редактировать данные в вашем персональном аккаунте, такие как адрес сайта, ник и т.п. Письмо с активацией придет в ящик, указанный при регистрации.)

(обязательно)